已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1
根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3
代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1 即：（A－B）⒉＝1 即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
且⒉－48AB>=0 化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0
所以：（3A－B）（A－3B）>=0
所以： 3A－B>=0 且A－3B>=0 或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0
然后就不知道怎么算了………………houzi13 这个题的答案是(1,0)(0,-1)
.. 我看后面只能靠猜了………………houzi13 houzi05 我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！
第(6)题解答
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)
方程有两实根，^2-4*3*4AB>=0
9(A+B)^2-48AB>=0
代入(1)得 36AB+9-48AB>=0
AB<=3/4-------------------------------------(3)
因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
第七题
设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：
TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)
=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
解答完毕！！houzi05 原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表 http://www.hearfish.com/bbs/images/common/back.gif
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...
我忘记可以代入1了！！！！houzi08 原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表 http://www.hearfish.com/bbs/images/common/back.gif
第七题
设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
根据韦达定理：A+ ...
答案是0,正解! 这种题答案肯定是特殊值！！！houzi05 赶快更新8，9题吧！！！houzi05