初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题

6 k+ F: R9 D1 h" l2 e' @已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
/ a' H" W6 ~) z. F' X. i这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.


" v/ \  g3 a. E* P0 \" V' a  \α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1
; H. I7 r3 `) |
根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3

代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
- ]+ g' ^) x; A  L
且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0
" V  {; \8 z0 f8 s2 l& W
: T, s: q. P$ c% w! f2 X6 X7 M所以：（3A－B）（A－3B）>=0

8 H( g- q! V: a+ ]6 K+ H9 |0 |所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0

3 V0 ]7 O- y1 w1 q" |然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)
6 [. a+ g% |+ N
..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
6 N' Q& u( u/ k' }+ a  Fα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
: w# A+ D7 C7 T4 Fα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)
- |5 X/ K8 T& \. U$ k/ m) o
方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
, n# ?3 n! y" `6 S4 F- {) H# F3 r                            9(A+B)^2-48AB>=0
# c6 r' C6 w6 x, C5 T3 D7 _代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
' A! t4 p7 w/ l+ U                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
6 M+ c( `; f- _6 y$ Z- H4 }                  
" C; L. D/ _' |7 _! s) V                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题

设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
, f1 O  d: D; Q1 ^! S注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：

TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)
( b2 s4 G" e8 x$ V# I8 \
5 [' U* T2 J3 G- X=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0

解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
: Q4 {& U7 u  n* Y5 ~9 Eα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
( s( Z5 H# p# w6 z- L+ Q( Y(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

, z  o6 P! J: F3 }

( t) y( \0 }# V, `  w
( v# H1 t4 Z$ e# d2 l" m我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
8 U/ O. l" [. o7 t+ p第七题

/ K; Z7 ]  ?2 j% i" o4 w设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
- a( T8 Y' n: s" p* z& w注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
' K# h7 N. W3 y" z
  [7 ?" k( B+ J$ g& o3 r根据韦达定理：A+ ...

# ^3 Y8 P9 U0 ?7 A; V! R# {
答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！