初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题
; n- b$ H3 j/ }. L" {& |3 p
已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
( K" J6 B1 F* }- b) |这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.
$ I& J- l, d- ^3 g6 K2 c
' I; {1 z  `; |, D
- t% X% ~) X8 G0 C9 S% {α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1

根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3
% N9 r, k& O/ v/ W
+ F5 U! I6 ~- A) h代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
. e4 K1 N/ J; F  C) t
- ^1 w% x1 f& a/ @且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0

所以：（3A－B）（A－3B）>=0

3 M' b/ D; O" a所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0
! P! F; V& {3 |, v, e/ O( T
0 \- L6 C5 x( Y5 W然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)

/ r/ Z6 G5 Y: g5 y# F3 f* V..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
* @, M- C  T* N+ Eα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
$ H2 t+ E5 M3 @# i  B9 y0 {(α+β)^2=3αβ+1
1 y' F( D7 V% t  {' w' b% f将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
& v/ @0 W9 D3 k7 i+ h(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
; Q, R1 j- v3 M2 L+ T8 b/ Y8 O(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)
+ R6 s; X4 b" R
7 u7 W- V/ E4 J% s& E3 ], \" N方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
                            9(A+B)^2-48AB>=0
代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
7 {- N6 v3 |3 P                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
! t+ L  L, k0 }! Q9 C: D/ }) K                  
                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题
. z& @6 U  z$ N5 t1 ~
5 @! p$ Y9 W+ O2 K9 l4 b. u" y设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
0 s3 M  t" n/ N: @7 s注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：
0 P0 Z5 U/ j$ h% x/ ]3 g0 X- Y9 _
TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)

' v* m. G6 V8 H3 }; Q=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
/ Z) }# D( x9 L# H8 h
解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

: B. @# Q: A! P& \. l4 Y7 y
# k/ v* N( c( ~9 X) V; n
我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
( b' o' S; u2 U  s/ \4 }9 O2 X. Y第七题

设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
5 w! f& q, Y/ h9 a7 o3 u1 i8 `* r
根据韦达定理：A+ ...

答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！