初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题
9 Z- l/ R5 O# m9 F6 T: b; {
$ }* h8 T+ _8 k6 g已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
: F6 _' ?& w2 }* h* z这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.
* ^5 V0 ^/ ~, x/ a& A) \. \/ H

& ?5 p) N3 U( M1 K, z& yα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1
# u, A( G8 }" p- Z4 q1 a( s* |4 X+ O5 V
根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3

; f0 m+ i) I: Z) x' f. s代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
, D, T5 m! K% v( ]% `
且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0

0 ?" ^( A7 b* X* n; ^  g1 a& ?所以：（3A－B）（A－3B）>=0
' y1 q2 z& L7 Z* A: G6 y8 c1 |
所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0

4 _; T& L% S* Y. c5 c& R  n" B然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)
, o+ ]8 t: j# @0 B7 |; l/ I# |6 ^
..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
  g1 _7 F  |) D1 j(α+β)^2=3αβ+1
! {  J' G' j; w  Y2 Q2 U+ X将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
4 _* h/ {9 k' o9 c6 f7 T(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
- r- v+ o/ L' C3 X2 U! a1 l  |* ]! k(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)
% R) U" I8 U" E: E' j
+ ~8 P' s1 A- o( Y' l方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
9 t+ f, \, q- y/ k& Q                            9(A+B)^2-48AB>=0
, U* U2 [1 |4 e, e5 H代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
                  
7 K2 z% a: H5 L                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题

# }3 ?8 `9 _, e5 i; X设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
# Y: w# Q2 e7 z' [* Y, |注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

: }, l/ M1 Y' w8 T8 L根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：
3 v5 o) Q/ P0 K% `& K( H+ o& W) o
* ^( i+ V  ]3 F& \, z% m9 fTN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)

=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
: Y3 T; Y3 i/ V2 d) t4 h
解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
% g: K/ }3 Q9 Q5 p. qα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

6 R# x5 _; ~1 T/ D% t
我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
第七题
2 {' T- M' R2 w4 w+ C" _
设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
* H/ u$ n4 D% f, S4 k. Z9 R注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

; Z/ l# y( h5 I1 U/ D根据韦达定理：A+ ...

- C! @) Y( E0 V8 d$ n
答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！