初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题
' E6 H& u3 w) i
已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
% r2 M& R2 Z; g* k1 F' T0 j: x2 |6 ^这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.

, H: C; M$ w1 p# x
- _3 m# I7 W6 xα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1
9 n6 l5 d7 p$ S" t) u9 b
$ g4 X+ W# e: ?6 M) v; k6 q' K根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3

7 ]! E! Z, \! Z  G) x6 A8 R代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1

且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0

# q" D* c0 y' V6 [0 [- t& ^* a所以：（3A－B）（A－3B）>=0
- V% X& A& l7 H! x5 e
. v( w/ g! [& D& N2 u: _. l所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0
/ H# e( ^4 ?+ @: t# U
然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)

..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
+ B. f( t; `, f$ O9 uα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
1 b) u# R" U% q" Z: V9 I(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)

方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
                            9(A+B)^2-48AB>=0
: I6 q& `+ N, A$ w代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
9 e9 H( E7 h' ^" ~                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
" Y1 c  O! X6 @* X1 v因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
                  
" r- R% M! z$ U                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题

) q1 {! `4 G6 W( Z9 s设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：

! Y. Q  V, P1 [( ^TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)
4 [- p& c6 \  [9 U
  j0 q6 n6 ^& F! C2 o1 [4 u- N=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0

. q! S1 R5 Z0 m6 {. \7 i  v解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
& M  |  y" E, z  n, Gα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
+ ^4 B+ o) O2 W将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

1 T" u# t. j* \  O
9 q+ m. ]/ M# n0 |' g; ?, K3 a
6 z% Q/ Y: {# G) ~  c
我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
第七题
& e$ f1 I2 K$ b0 O
设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
  K" ^# L$ g) u2 B7 _' F+ I注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
% E# I. Z  ?  v$ Q: E) E; `
根据韦达定理：A+ ...

. M8 g2 k& H1 h: Z0 I
& w) x, m0 u7 S答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！