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楼主: 某青°

[解开心结] 初三数奥题——有奖解答(更新六七题)

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发表于 2007-8-9 17:58:17 | 显示全部楼层
第六题
9 Z- l/ R5 O# m9 F6 T: b; {
$ }* h8 T+ _8 k6 g已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
: F6 _' ?& w2 }* h* z这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.

* ^5 V0 ^/ ~, x/ a& A) \. \/ H* O7 X* p' T2 \: x/ q9 ^

& ?5 p) N3 U( M1 K, z& yα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得:α⒉+β⒉=αβ+1  然后得:(α+β)⒉-2αβ=αβ+1
# u, A( G8 }" p- Z4 q1 a( s* |4 X+ O5 V2 ^1 N8 [3 ~$ Y# ]; C7 V
根据韦达定理:α+β=-(A+B); αβ=4AB/33 ]" R% ?6 K' K# K

; f0 m+ i) I: Z) x' f. s代入得:[-(A+B)]⒉-4AB=1   即:(A-B)⒉=1   即:A-B=+-1 因为A比B大,所以A-B=1
, D, T5 m! K% v( ]% `, D( ~1 y/ [4 ~9 s9 \. K
且[3(A+B)]⒉-48AB>=0    化简得:3A⒉+3B⒉-10AB>=04 G5 u5 ?" b1 A

0 ?" ^( A7 b* X* n; ^  g1 a& ?所以:(3A-B)(A-3B)>=0
' y1 q2 z& L7 Z* A: G6 y8 c1 |1 E" ]$ R! ]; r# W% U) @* @# r. w+ a/ S
所以:    3A-B>=0 且A-3B>=0             或者:3A-B<=0 且 A-3B<=0# X  [: s! _/ U! X$ p& b6 K

4 _; T& L% S* Y. c5 c& R  n" B然后就不知道怎么算了………………

评分

参与人数 1活力值 +8 静茹币 +8 收起 理由
某青° + 8 + 8 辛苦了的说。..

查看全部评分

 楼主| 发表于 2007-8-9 18:01:03 | 显示全部楼层
这个题的答案是(1,0)(0,-1)
, o+ ]8 t: j# @0 B7 |; l/ I# |6 ^! y$ l' b8 N' P6 M3 c! u4 g
..
发表于 2007-8-9 18:02:04 | 显示全部楼层
我看后面只能靠猜了………………
发表于 2007-8-9 18:02:47 | 显示全部楼层
我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法!!!
发表于 2007-8-9 18:10:42 | 显示全部楼层

第(6)题解答

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1). n6 Y) [/ a6 i' [2 s
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1' |2 l  n/ b$ P. z5 W( Q2 s
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
  g1 _7 F  |) D1 j(α+β)^2=3αβ+1
! {  J' G' j; w  Y2 Q2 U+ X将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
4 _* h/ {9 k' o9 c6 f7 T(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
- r- v+ o/ L' C3 X2 U! a1 l  |* ]! k(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)
% R) U" I8 U" E: E' j
+ ~8 P' s1 A- o( Y' l方程有两实根,[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
9 t+ f, \, q- y/ k& Q                            9(A+B)^2-48AB>=0
, U* U2 [1 |4 e, e5 H代入(1)得          36AB+9-48AB>=0# R6 W* L6 b" z4 X1 r
                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)' {* `$ ]6 V: D
因为A,B均为整数,根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.3 m! ?) Z: F& J2 B2 W! u: a; V
                  
7 K2 z% a: H5 L                           
发表于 2007-8-9 18:15:51 | 显示全部楼层
第七题0 q8 ]2 w% ~: q4 W

# }3 ?8 `9 _, e5 i; X设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
# Y: w# Q2 e7 z' [* Y, |注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
/ k4 H. A: r5 [2 Y/ j' n

: }, l/ M1 Y' w8 T8 L根据韦达定理:A+B=-P ; AB=Q 代入得:
3 v5 o) Q/ P0 K% `& K( H+ o& W) o
* ^( i+ V  ]3 F& \, z% m9 fTN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方): w. b# l! k4 L5 {  b0 Z
6 y9 x1 v3 q/ e/ H5 `, G
=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
: Y3 T; Y3 i/ V2 d) t4 h- x+ k" `. c3 S9 m: v2 q
解答完毕!!
发表于 2007-8-9 18:16:56 | 显示全部楼层
原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表 6 p$ _  V( w7 W$ m4 P7 \
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
% g: K/ }3 Q9 Q5 p. qα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1( S7 v3 J# j$ k! [2 T
α^2+β^2+2αβ=3αβ+13 n* d. @' @# D3 n  K) d
(α+β)^2=3αβ+1! e, z/ F  q" L# }9 [1 v
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入, u7 a5 Q/ L1 e8 p" p& F, K
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...
2 J1 W; P! ~9 z! n/ _
! @: B) m* T7 h/ k9 h4 @0 C

6 R# x5 _; ~1 T/ D% t. ]8 `2 [( ]* Y- K* O3 G# C
我忘记可以代入1了!!!!
发表于 2007-8-9 18:19:17 | 显示全部楼层
原帖由 LOVE梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表 * G) a  v/ U+ N9 e% Q8 ?
第七题
2 {' T- M' R2 w4 w+ C" _$ q$ V; h7 I& M' L0 d5 s
设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
* H/ u$ n4 D% f, S4 k. Z9 R注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..; r- V) x3 l3 Y7 r4 C

; Z/ l# y( h5 I1 U/ D根据韦达定理:A+ ...

- C! @) Y( E0 V8 d$ n. M6 U' Q- u  Z. [
答案是0,正解!
发表于 2007-8-9 18:20:04 | 显示全部楼层
这种题答案肯定是特殊值!!!
发表于 2007-8-9 18:21:33 | 显示全部楼层
赶快更新8,9题吧!!!
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