初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题
8 {% E5 @1 i9 z% I5 Z8 j# S
5 D. z, e2 y) @) {0 F8 z: S4 J5 m- @已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.
2 b. l* |; m( @6 X9 x$ m8 w

9 A/ _; e# M! _, S$ aα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1

根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3
4 H+ U2 o% Z) A6 l% A- z6 T
1 Q" j/ D( I  \) m  p代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
2 i  E0 W. P: r* j/ p
且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0
* N: `, Q% F4 k) Z' D
9 z) j  `! g% P8 n- |* X. o4 ^所以：（3A－B）（A－3B）>=0
' [2 M, d: T. a7 m* J6 ]
* t: F# P( X0 f: k所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0
2 w1 {- H4 a- _" d5 N7 R. o
3 S3 |% F2 y/ D' r然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)
: s. `1 v. T& K1 D
. r2 F6 E8 M7 k- [3 T..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
% R+ ?; N9 j- Cα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
2 y: ?- M' g' V! gα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)

方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
3 x0 W1 a3 H& c* `: G3 c) K2 t! {, c% j                            9(A+B)^2-48AB>=0
代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
5 r& R6 N% J! r# Q" _0 a% ~& b8 |                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
                  
                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题
* B& U% x- _. k4 y& Q* i7 c
设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
. [' K5 {5 v- M2 x6 M9 d" l' q注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：

# c* A  v9 X, t% N0 MTN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)
4 \; s8 V2 i7 Q3 M/ g$ Q1 m5 C
=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
5 F6 m% D: x% L+ e1 G
解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
+ C% T% L, H+ \: B" Uα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
, r0 u3 \  r1 Hα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
第七题
4 w6 e6 e0 ]3 Y8 s; I
" Z& B4 D; b# J设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
6 X. s" ?( `, I4 b; f注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+ ...

6 ?* h8 m; y0 s- L( j$ z7 f+ o7 p6 C
答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！